FISICA II

jueves, 11 de noviembre de 2010

INDUCTANCIA MUTUA

Como se verá a continuación, la inductancia (mutua y autoinductacia) es una característica de los circuitos que depende de la geometría de los mismos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos por las curva

γ 1

γ 2

por donde circulan corrientes

I 1

I 2

, respectivamente. De ahora en más el subíndice 1 representa magnitudes correspondientes circuito 1 y análogamente para el circuito 2. En virtud de la Ley de Faraday se tiene

$\vec\nabla\times\vec E(\vec x_1)=-\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}$ donde $\vec E(\vec x_1)$ es el campo eléctrico y $\vec B(\vec x_1)$ es el campo magnético en el circuito 1. Si ahora se toma el flujo a través del área encerrada

S 1

por el circuito 1,

$\int_{S_1}\vec\nabla\times\vec E(\vec x_1)\cdot\vec{da_1}=-\int_{S_1}\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$ y usando el Teorema de Stokes para la integral del lado izquierdo se obtiene la fem

ε 1

para el circuito 1:

$\oint_{\gamma_1}\vec E(\vec x_1)\cdot\vec{ds_1}=\epsilon_1=-\int_{S_1}\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$   Es conveniente usar que $\vec B(\vec x_1)=\vec\nabla\times\vec A(\vec x_1)$ , donde $\vec A(\vec x)$ es el potencial vectorial para reescribir lo anterior como

$\epsilon_1=-\int\vec\nabla\times\frac{\partial\vec A(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$   En este punto se debe hacer una simplificación: se supondrá que el circuito no cambia en el tiempo, con lo cual la derivada parcial puede salir fuera de la integral. Esto permite entonces aplicar nuevamente el Teorema de Stokes. Matemáticamente:

$\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{S_1}\vec\nabla\times\vec A(\vec x_1)\cdot\vec{da_1}$     $\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\oint_{\gamma_1}\vec A(\vec x_1)\cdot\vec{ds_1}$    Dado que $\vec A(\vec x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_V\frac{\vec J(\vec x')}{|\vec x-\vec x'|}d^3x'$ en el gauge $\vec\nabla\cdot\vec A=0$ donde $\vec J(\vec x)$ es la densidad de corriente que genera el campo magnético $\vec B$ . En este caso la densidad de corriente corresponde a la del

circuito 2, por lo que $\vec A(\vec x_1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_V\frac{\vec J(\vec x_2)}{|\vec x_1-\vec x_2|}d^3x_2$ . En caso que la densidad de corriente corresponda a una curva y no a un volumen en el espacio es lícito reescribir el potencial vectorial como

$\vec A(\vec x_1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\frac{I_2}{|\vec x_1-\vec x_2|}\vec{ds_2}$ . Luego, reemplazando esta última igualdad en la expresión anterior se tiene

$\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\oint_{\gamma_1}\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\frac{I_2}{|\vec x_1-\vec x_2|}\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}$   Dado que se ha supuesto que los circuitos no se modifican en el tiempo sólo

I 2

se ve afectada por la derivada temporal, con lo que

$\epsilon_1=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}}{|\vec x_1-\vec x_2|}\frac{\partial I_2}{\partial t}$ El anterior razonamiento se puede repetir para el circuito 2 dando como resultado

$\epsilon_2=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\oint_{\gamma_1}\frac{\vec{ds_1}\cdot\vec{ds_2}}{|\vec x_2-\vec x_1|}\frac{\partial I_1}{\partial t}$ Claramente las constantes que acompañan a las derivadas temporales en ambos casos son coeficientes que sólo dependen de la geometría de los circuitos y además son iguales. Luego se llama inductancia mutua,

M

a dicha constante

$M=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}}{|\vec x_1-\vec x_2|}$

INTRODUCCION

Desde el siglo VI a. C. ya se conocía que el óxido ferroso-férrico, al que los antiguos llamaron magnetita, poseía la propiedad de atraer partículas de hierro. Hoy en día la magnetita se conoce como imán natural y a la propiedad que tiene de atraer los metales se le denomina “magnetismo”.

Los chinos fueron los primeros en descubrir que cuando se le permitía a un trozo de magnetita girar libremente, ésta señalaba siempre a una misma dirección; sin embargo, hasta mucho tiempo después esa característica no se aprovechó como medio de orientación. Los primeros que le dieron uso práctico a la magnetita en función de brújula para orientarse durante la navegación fueron los árabes.

Como todos sabemos, la Tierra constituye un gigantesco imán natural; por tanto, la magnetita o cualquier otro tipo de imán o elemento magnético que gire libremente sobre un plano paralelo a su superficie, tal como lo hace una brújula, apuntará siempre al polo norte magnético. Como aclaración hay que diferenciar el polo norte magnético de la Tierra del Polo Norte geográfico. El Polo Norte geográfico es el punto donde coinciden todos los meridianos que dividen la Tierra, al igual que ocurre con el Polo Sur.

Sin embargo, el polo norte magnético se encuentra situado a 1 200 kilómetos de distancia del norte geográfico, en las coordenadas 78º 50´ N (latitud Norte) y 104º 40´ W (longitud Oeste), aproximadamente sobre la isla Amund Ringness, lugar hacia donde apunta siempre la aguja de la brújula y no hacia el norte geográfico, como algunas personas erróneamente creen.

ELECTROMAGNETISMO

El electromagnetismo es una rama de la Física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell.

El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el Electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la Mecánica Cuántica.

El electromagnetismo considerado como fuerza es una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo actualmente conocido.

FUERZAS MAGNETICAS ENTRE CORRIENTES

Todo conductor por el cual circula una corriente eléctrica está rodeado de un campo magnético. En virtud de que una corriente eléctrica es un flujo de electrones, cada uno de ellos constituye una partícula cargada en movimiento generadora de un campo magnético a su alrededor. Por ello, cuando un electrón en movimiento con su propio campo magnético penetra en forma perpendicular dentro de otro campo producido por un imán o una corriente eléctrica, los dos campos magnéticos interactúan entre sí.

En general, los campos magnéticos actúan sobre las partículas cargadas desviándolas de sus trayectorias a consecuencia del efecto de una fuerza magnética llamada fuerza de Ampere.
Cuando una partícula cargada se mueve perpendicularmente a un campo magnético, recibe una fuerza magnética cuya dirección es perpendicular a la dirección de su movimiento y a la dirección de la inducción magnética o densidad de flujo.

Por lo tanto la partícula se desvía y sigue una trayectoria circula. Cuando una carga se mueve paralelamente a las líneas magnéticas del campo no sufre ninguna desviación. Si la trayectoria de la partícula es en forma oblicua con una cierta inclinación respecto a las líneas de fuerza de un campo magnético, la partícula cargada se desviará y describirá una trayectoria en forma de espiral.

Una carga q cuyo movimiento es perpendicular a un campo magnético con una inducción magnética B a una cierta velocidad v, recibe una fuerza F que se calcula con la siguiente expresión:
F= qvB.
Cuando la trayectoria del movimiento de la partícula forma un ángulo θ, con la inducción magnética, la magnitud de la fuerza recibida por la partícula será proporcional a la componente de la velocidad perpendicular a B. por lo tanto la fuerza F se determina con la expresión:
F = qvB senθ.

Donde: F=fuerza recibida por una partícula en movimiento en Newtons (N).
v=velocidad que lleva la carga en m/seg.
B=inducción magnética del campo, en Teslas (T)
Θ=ángulo formado por la dirección de la velocidad que lleva la partícula y la inducción magnética.

Para determinar la dirección de la fuerza magnética recibida por una carga que se mueve en forma perpendicular a las líneas de fuerza de un campo magnético, se emplea la regla de los tres dedos de la siguiente manera: los tres primeros dedos de la mano derecha se disponen extendidos perpendicularmente uno respecto del otro, el dedo índice indicará la dirección del campo magnético, el dedo medio representará la dirección de la velocidad con la cual se mueve una carga negativa, es decir la corriente, y el pulga señalará la dirección de la fuerza magnética que recibe la carga. Cuando la carga que se mueve perpendicularmente a un campo magnético es positiva, se emplea la mano izquierda de la misma manera.

Al despejar la inducción magnética B de la expresión F= qvBsenθ, tendremos:
B= F___

qvsenθ

Por definición: la inducción magnética o densidad de flujo en un punto de un campo magnético equivale a un Tesla, cuando una carga de un coulomb al penetrar perpendicularmente al campo magnético con una velocidad de 1 m/seg, recibe en dicho punto, la fuerza magnética de un Newton.

Fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente.

Como se ha señalado, un conductor por el que circula una corriente está rodeado de un campo magnético. Si el conductor se introduce en forma perpendicular a un campo magnético recibirá una fuerza lateral cuyo valor se determina con la siguiente expresión matemática:

F = BIL .

Donde: F= Fuerza magnética que recibe el conductor en newtons (N).
B= inducción magnética medida en Teslas (T).
I= intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor en amperes (A).
L=Longitud del conductor sumergido en el campo magnético en metros. (m).

De la misma manera que sucede para una carga móvil, si el conductor por el cual circula una corriente forma un ángulo θ con el campo magnético, la fuerza recibida se determina con la expresión:
F = BILsen θ.

Fuerza magnética entre 2 conductores paralelos por los que circula una corriente.

En virtud de que una carga en movimiento genera a su alrededor un campo magnético, cuando dos cargas eléctricas se mueven en forma paralela interactúan sus respectivos campos y se produce una fuerza magnética entre ellas. La fuerza magnética es de atracción, si las cargas que se mueven paralelamente son del mismo signo y se desplazan en igual sentido o bien cuando las cargas son de signo y movimiento contrarios.

Evidentemente la fuerza magnética será de repulsión, si las cargas son de igual signo y con diferente sentido, o si son de signo contrario y su dirección es en el mismo sentido.
Cuando se tienen 2 alambres rectos, largos y paralelos y por ellos circula una corriente eléctrica, debido a la interacción de sus campos magnéticos, se produce una fuerza entre ellos que puede calcularse con la siguiente expresión:
F=μ^oI¹I²L
2πr

Donde F= fuerza magnética entre 2 conductores rectos, largos y paralelos, se mide en newtons (N).
μ_^o=permeabilidad magnética del vacío igual a 12.56x10^-7 Tm/A.
I_¹=intensidad de la corriente en el primer conductor calculada en amperes (A).
I_²=intensidad de la corriente en el segundo conductor calculada en amperes (A).
L=longitud considerada de los conductores medida en metros (m).
r=distancia entre los dos conductores, también con sus unidades en metros (m).

La fuerza entre los alambres conductores paralelos será de atracción si las corrientes van en el mismo sentido, pero si éste es opuesto la fuerza será de repulsión. Si los alambres se encuentran en el aire se considera como si estuvieran en el vacío.

La fuerza magnética entre conductores también puede calcularse con la siguiente expresión:
F= 2 KmLI_¹I_²

LEY DE BIOT-SAVART

La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias.

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud $d\vec l$ del circuito recorrido por una corriente $I \,$ crea una contribución elemental de campo magnético, $d\vec B$ , en el punto situado en la posición que apunta el vector $\vec Ur$ a una distancia

r

respecto de $d\vec l$ , quien apunta en dirección a la corriente I:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}$

donde

μ 0

es la permeabilidad magnética del vacío, y $\hat{r}$ es un vector unitario.

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dado por

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv$

donde $\vec{J}$ es la densidad de corriente en el elemento de volumen $dv \,$ y $\vec{R}$ es la posición relativa del punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión

$\vec B = \int d\vec{B}$

En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.
La ley de Biot-Savart es fundamental en magnetostática tanto como la ley de Coulomb lo es en electrostática.

LEY DE LA BIOT-SAVART GENERALIZADA

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}$

donde:

$\ dV$ es el elemento diferencial de volumen.

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ es la constante magnética.

LEY DE GAUSS DEL CAMPO MAGNETICO

Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen

y, operando se llega a que puede escribirse como

de donde es inmediato que

esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético.
Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos).
Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.

LEY DE AMPERE

En física del magnetismo, la ley de Ampère, descubierta por André-Marie Ampère en 1826, relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica.

En su forma original, la Ley de Ampère relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica que lo genera.
La Ley se puede escribir de dos maneras, la "forma integral" y la "forma diferencial ". Ambas formas son equivalentes, y se relacionan por el teorema de Stokes.

Forma integral

Dada una superficie abierta

S

por la que atraviesa una corriente eléctrica

I

, y dada la curva

C

, curva contorno de la superficie

S

, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

donde

$\vec{H}$ es el campo magnético,

$\vec{J}$ es la densidad de corriente eléctrica,

$I_{\mathrm{enc}} \,$ es la corriente encerrada en la curva

C

Y se lee: La circulación del campo $\vec{H}$ a lo largo de la curva $C$ es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta $S$ , de la cual $C$ es el contorno.
En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.

Definición:

$\vec{H}= \frac {\vec{B}} {\mu_0} - \vec{M}$