FISICA II: INDUCTANCIA MUTUA

Como se verá a continuación, la inductancia (mutua y autoinductacia) es una característica de los circuitos que depende de la geometría de los mismos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos por las curva

γ 1

γ 2

por donde circulan corrientes

I 1

I 2

, respectivamente. De ahora en más el subíndice 1 representa magnitudes correspondientes circuito 1 y análogamente para el circuito 2. En virtud de la Ley de Faraday se tiene

$\vec\nabla\times\vec E(\vec x_1)=-\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}$ donde $\vec E(\vec x_1)$ es el campo eléctrico y $\vec B(\vec x_1)$ es el campo magnético en el circuito 1. Si ahora se toma el flujo a través del área encerrada

S 1

por el circuito 1,

$\int_{S_1}\vec\nabla\times\vec E(\vec x_1)\cdot\vec{da_1}=-\int_{S_1}\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$ y usando el Teorema de Stokes para la integral del lado izquierdo se obtiene la fem

ε 1

para el circuito 1:

$\oint_{\gamma_1}\vec E(\vec x_1)\cdot\vec{ds_1}=\epsilon_1=-\int_{S_1}\frac{\partial\vec B(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$   Es conveniente usar que $\vec B(\vec x_1)=\vec\nabla\times\vec A(\vec x_1)$ , donde $\vec A(\vec x)$ es el potencial vectorial para reescribir lo anterior como

$\epsilon_1=-\int\vec\nabla\times\frac{\partial\vec A(\vec x_1)}{\partial t}\cdot\vec{da_1}$   En este punto se debe hacer una simplificación: se supondrá que el circuito no cambia en el tiempo, con lo cual la derivada parcial puede salir fuera de la integral. Esto permite entonces aplicar nuevamente el Teorema de Stokes. Matemáticamente:

$\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{S_1}\vec\nabla\times\vec A(\vec x_1)\cdot\vec{da_1}$     $\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\oint_{\gamma_1}\vec A(\vec x_1)\cdot\vec{ds_1}$    Dado que $\vec A(\vec x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_V\frac{\vec J(\vec x')}{|\vec x-\vec x'|}d^3x'$ en el gauge $\vec\nabla\cdot\vec A=0$ donde $\vec J(\vec x)$ es la densidad de corriente que genera el campo magnético $\vec B$ . En este caso la densidad de corriente corresponde a la del

circuito 2, por lo que $\vec A(\vec x_1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_V\frac{\vec J(\vec x_2)}{|\vec x_1-\vec x_2|}d^3x_2$ . En caso que la densidad de corriente corresponda a una curva y no a un volumen en el espacio es lícito reescribir el potencial vectorial como

$\vec A(\vec x_1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\frac{I_2}{|\vec x_1-\vec x_2|}\vec{ds_2}$ . Luego, reemplazando esta última igualdad en la expresión anterior se tiene

$\epsilon_1=-\frac{\partial}{\partial t}\oint_{\gamma_1}\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\frac{I_2}{|\vec x_1-\vec x_2|}\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}$   Dado que se ha supuesto que los circuitos no se modifican en el tiempo sólo

I 2

se ve afectada por la derivada temporal, con lo que

$\epsilon_1=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}}{|\vec x_1-\vec x_2|}\frac{\partial I_2}{\partial t}$ El anterior razonamiento se puede repetir para el circuito 2 dando como resultado

$\epsilon_2=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_2}\oint_{\gamma_1}\frac{\vec{ds_1}\cdot\vec{ds_2}}{|\vec x_2-\vec x_1|}\frac{\partial I_1}{\partial t}$ Claramente las constantes que acompañan a las derivadas temporales en ambos casos son coeficientes que sólo dependen de la geometría de los circuitos y además son iguales. Luego se llama inductancia mutua,

M

a dicha constante

$M=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{ds_2}\cdot\vec{ds_1}}{|\vec x_1-\vec x_2|}$

FISICA II

OBJETIVO DE LA FISICA EN ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

jueves, 11 de noviembre de 2010

INDUCTANCIA MUTUA

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